.: ORIGINAL RESEARCH
A Survival Copula Based Goodness-of-fit Testing for the Right-censored Case with Hazard Scenario
Sağdan Sansürlü Vaka İçin Sağkalım Kopula Tabanlı Uyum İyiliğiTesti ve Hazard Senaryosu
Turkiye Klinikleri J Biostat. 2020;12(2): 140-57
doi: 10.5336/biostatic.2020-75310
Article Language: EN
Full Text
ABSTRACT
Objective: Modeling dependence structure of a bivariate survival data is one of the main issues in biomedical studies. Survival copula deals with such a lifetime data and is used for modeling and understanding the distributional structure. In this study, we consider modeling and analysing the bivariate survival data in the presence of right censoring using Archimedean copula functions. In addition, the Hazard Scenario is modeled to assess the maximum threat expected from data sets examined in a particular area. So, this study has two main objectives. First one is to estimate the distributional structure of bivariate uncensored or right-censored survival data using bivariate survival Archimedean copula. Second one is to evaluate the joint risk of this bivariate data using Hazard Scenario approach after this distributional assumption. Material and Methods: We use Emura et al.(2010) goodness-of -fit testing procedure for the model selection. First, we examine the heart transplant data and model the dependence structure between waiting time for transplant and post-transplant survival time to see the co-movements of these variables. Second, we examine the diabetic retinopathy data and model the dependence between the survival times of the two eyes of the same patient in case of laser photocoagulation treatment. Finally, we use the Survival Hazard Scenario approach to evaluate the probability of exceeding some critical layers for the data. Some graphs based on λ-functions and Kendall functions are also presented for visual comparison. Results: Based on the goodness-of-fit procedure applied to both of the datasets for the model selection, some parametric models are determined. These models help to understand the joint behaviour of the data. For both of the data sets, Frank copula which has symmetric dependence structure is selected. The data sets have symmetric co-movements at the tails and around the center. For the heart transplant data, it can be concluded if the patient is strong enough to wait for the heart transplant process, the survival time after transplantation is also longer. For the retinopathy data, the survival times of two eyes move together after the laser photocoagulation treatment. After the determination of the bivariate Archimedean copula of the data sets, a Survival Hazard Scenario which is a probabilistic consistent framework is used to obtain some joint risk layers. These layers help us to determine the large values of the variables which are associated with high risk conditions. Conclusion: The symmetric dependence structure is observed for both of the data set. Also, the data pairs which exceed the critical layers are also obtained using survival Kendall Hazard Scenario which provides valuable resulting for assessing the probability of threatening events.
Keywords: Survival Hazard Scenario; right censoring; bivariate survival data; Archimedean copula; survival copula
Objective: Modeling dependence structure of a bivariate survival data is one of the main issues in biomedical studies. Survival copula deals with such a lifetime data and is used for modeling and understanding the distributional structure. In this study, we consider modeling and analysing the bivariate survival data in the presence of right censoring using Archimedean copula functions. In addition, the Hazard Scenario is modeled to assess the maximum threat expected from data sets examined in a particular area. So, this study has two main objectives. First one is to estimate the distributional structure of bivariate uncensored or right-censored survival data using bivariate survival Archimedean copula. Second one is to evaluate the joint risk of this bivariate data using Hazard Scenario approach after this distributional assumption. Material and Methods: We use Emura et al.(2010) goodness-of -fit testing procedure for the model selection. First, we examine the heart transplant data and model the dependence structure between waiting time for transplant and post-transplant survival time to see the co-movements of these variables. Second, we examine the diabetic retinopathy data and model the dependence between the survival times of the two eyes of the same patient in case of laser photocoagulation treatment. Finally, we use the Survival Hazard Scenario approach to evaluate the probability of exceeding some critical layers for the data. Some graphs based on λ-functions and Kendall functions are also presented for visual comparison. Results: Based on the goodness-of-fit procedure applied to both of the datasets for the model selection, some parametric models are determined. These models help to understand the joint behaviour of the data. For both of the data sets, Frank copula which has symmetric dependence structure is selected. The data sets have symmetric co-movements at the tails and around the center. For the heart transplant data, it can be concluded if the patient is strong enough to wait for the heart transplant process, the survival time after transplantation is also longer. For the retinopathy data, the survival times of two eyes move together after the laser photocoagulation treatment. After the determination of the bivariate Archimedean copula of the data sets, a Survival Hazard Scenario which is a probabilistic consistent framework is used to obtain some joint risk layers. These layers help us to determine the large values of the variables which are associated with high risk conditions. Conclusion: The symmetric dependence structure is observed for both of the data set. Also, the data pairs which exceed the critical layers are also obtained using survival Kendall Hazard Scenario which provides valuable resulting for assessing the probability of threatening events.
Keywords: Survival Hazard Scenario; right censoring; bivariate survival data; Archimedean copula; survival copula
ÖZET
Amaç: İki değişkenli sağkalım verilerinin bağımlılık yapısının modellenmesi, biyomedikal çalışmaların ana konularından biridir. Böyle bir yaşam zamanı verisiyle ilgilenen sağkalım kopula modelleri bu verilerin dağılım yapısını modellemek ve anlamak için kullanılır. Bu çalışmada, Archimedean kopulalar kullanılarak sağdan sansürlü veri yapısı modellenmiş ve analiz edilmiştir. Ayrıca, belirli bir alanda incelenen veri setlerinden beklenen maksimum tehdidi değerlendirmek amacıyla Hazard Senaryosu modellenmiştir. Dolayısıyla, bu çalışmanın iki temel amacı vardır. Birincisi, iki değişkenli sağkalım Archimedean kopula kullanılarak sansürsüz ve sağdan sansürlü sağkalım verilerin dağılım yapısını tahmin etmektir. İkincisi, bu dağılımsal varsayımdan sonra Hazard Senaryosu yaklaşımını kullanarak bu iki değişkenli verilerin ortak riskini değerlendirmektir. Gereç ve Yöntemler: Model seçimi için Emura vd. (2010) uyum iyiliği prosedürü kullanılmıştır. ilk olarak, kalp nakli verileri incelenmiş ve bu değişkenlerin ortak hareketlerini görmek için nakil için bekleme süresi ile nakil sonrası hayatta kalma süresi arasındaki bağımlılık yapısını modellenmiştir. İkinci olarak, diyabetik retinopati verilerini incelenmiş ve lazer fotokoagülasyon tedavisi durumunda aynı hastanın iki gözünün yaşam süreleri arasındaki bağımlılığı modellenmiştir. Son olarak, veriler için bazı kritik seviyeleri aşma olasılığını değerlendirmek üzere sağkalım Hazard Senaryosu yaklaşımı kullanılmıştır. λ-fonksiyonlarına ve Kendall fonksiyonlarına dayanan bazı grafikler de görsel karşılaştırma için sunulmuştur. Bulgular: Model seçimi için her iki veri kümesine uygulanan uyum iyiliği sürecine dayanarak, bazı parametrik modeller belirlenmiştir. Bu modeller verilerin ortak davranışını anlamaya yardımcı olur. Her iki veri seti için de, simetrik bağımlılık yapısına sahip olan Frank kopula seçilmiştir.. Veri yapıları merkez etrafında ve kuyrukta birlikte hareket etmektedir. Kalp nakli verisi için hastanın kalp nakli sürecini bekleyecek kadar güçlü olması durumunda, nakil sonrası hayatta kalma süresi de daha uzundur yorumu yapılabilir. Retinopati verileri için lazer fotokoagülasyon tedavisinden sonra iki gözün sağkalım süresi de birlikte hareket etmektedir. İki değişkenli Archimedean kopula yapısının belirlenmesinin ardından, bazı ortak risk katmanları elde etmek için olasılıksal bir yapı olan iki değişkenli sağkalım Hazard Senaryosu kullanılmıştır. Bu risk seviyeleri, değişkenlerin büyük değerlerinin riskli koşullarla ilişkili olduğu değerleri belirlememize yardımcı olmaktadır. Sonuç: Simetrik bağımlılık yapısı her iki veri setinde de gözlenmektedir. Ayrıca, kritik seviyeleri aşan veri çiftleri, riskli olayların olasılığını değerlendirmek için önemli sonuçlar sağlayan Kendall sağkalım Hazard Senaryosu kullanılarak da elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Sağkalım Hazard Senaryosu; sağdan sansür; iki değişkenli sağkalım verisi; Archimedean kopula; sağkalım kopulası
Amaç: İki değişkenli sağkalım verilerinin bağımlılık yapısının modellenmesi, biyomedikal çalışmaların ana konularından biridir. Böyle bir yaşam zamanı verisiyle ilgilenen sağkalım kopula modelleri bu verilerin dağılım yapısını modellemek ve anlamak için kullanılır. Bu çalışmada, Archimedean kopulalar kullanılarak sağdan sansürlü veri yapısı modellenmiş ve analiz edilmiştir. Ayrıca, belirli bir alanda incelenen veri setlerinden beklenen maksimum tehdidi değerlendirmek amacıyla Hazard Senaryosu modellenmiştir. Dolayısıyla, bu çalışmanın iki temel amacı vardır. Birincisi, iki değişkenli sağkalım Archimedean kopula kullanılarak sansürsüz ve sağdan sansürlü sağkalım verilerin dağılım yapısını tahmin etmektir. İkincisi, bu dağılımsal varsayımdan sonra Hazard Senaryosu yaklaşımını kullanarak bu iki değişkenli verilerin ortak riskini değerlendirmektir. Gereç ve Yöntemler: Model seçimi için Emura vd. (2010) uyum iyiliği prosedürü kullanılmıştır. ilk olarak, kalp nakli verileri incelenmiş ve bu değişkenlerin ortak hareketlerini görmek için nakil için bekleme süresi ile nakil sonrası hayatta kalma süresi arasındaki bağımlılık yapısını modellenmiştir. İkinci olarak, diyabetik retinopati verilerini incelenmiş ve lazer fotokoagülasyon tedavisi durumunda aynı hastanın iki gözünün yaşam süreleri arasındaki bağımlılığı modellenmiştir. Son olarak, veriler için bazı kritik seviyeleri aşma olasılığını değerlendirmek üzere sağkalım Hazard Senaryosu yaklaşımı kullanılmıştır. λ-fonksiyonlarına ve Kendall fonksiyonlarına dayanan bazı grafikler de görsel karşılaştırma için sunulmuştur. Bulgular: Model seçimi için her iki veri kümesine uygulanan uyum iyiliği sürecine dayanarak, bazı parametrik modeller belirlenmiştir. Bu modeller verilerin ortak davranışını anlamaya yardımcı olur. Her iki veri seti için de, simetrik bağımlılık yapısına sahip olan Frank kopula seçilmiştir.. Veri yapıları merkez etrafında ve kuyrukta birlikte hareket etmektedir. Kalp nakli verisi için hastanın kalp nakli sürecini bekleyecek kadar güçlü olması durumunda, nakil sonrası hayatta kalma süresi de daha uzundur yorumu yapılabilir. Retinopati verileri için lazer fotokoagülasyon tedavisinden sonra iki gözün sağkalım süresi de birlikte hareket etmektedir. İki değişkenli Archimedean kopula yapısının belirlenmesinin ardından, bazı ortak risk katmanları elde etmek için olasılıksal bir yapı olan iki değişkenli sağkalım Hazard Senaryosu kullanılmıştır. Bu risk seviyeleri, değişkenlerin büyük değerlerinin riskli koşullarla ilişkili olduğu değerleri belirlememize yardımcı olmaktadır. Sonuç: Simetrik bağımlılık yapısı her iki veri setinde de gözlenmektedir. Ayrıca, kritik seviyeleri aşan veri çiftleri, riskli olayların olasılığını değerlendirmek için önemli sonuçlar sağlayan Kendall sağkalım Hazard Senaryosu kullanılarak da elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Sağkalım Hazard Senaryosu; sağdan sansür; iki değişkenli sağkalım verisi; Archimedean kopula; sağkalım kopulası
REFERENCES:
- Emura T, Lin C, Wang W. A goodness-of-fit test for Archimedean copula models in the presence of right censoring. Computational Statistics & Data Analysis. 2010;54(12):3033-43. [Crossref]
- Wang W, Wells M. Model selection and semiparametric inference for bivariate failure-time data. J Am Stat Assoc. 2000;95(449):62-72. [Crossref]
- Nelsen RB. An introduction to copulas. 2nd ed. New York. USA: Springer; 2006. p.272.
- Oakes D. A model for association in bivariate survival data. J Royal Stat Soc. Series B (Methodological). 1982:44(3);414422. [Crossref]
- Emura T, Wang W, Hung HN. Semi-parametric inference for copula models for truncated data. Stat Sin. 2011;21:349-67.
- Genest C, Rivest LP. Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas. J Am Stat Assoc. 1993;88(423):1034-43. [Crossref]
- Shih JH. A goodness-of-fit test for association in a bivariate survival model. Biometrika. 1998;85(1):189-200. [Crossref]
- Clayton DG. A model for association in bivariate life tables and its application to epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. Biometrika. 1978;65(1):141-51. [Crossref]
- Salvadori, G, Durante F, De Michele C. Multivariate return period calculation via survival functions. Water Resour Res. 2013;49(4):2308-11. [Crossref]
- Salvadori G, Durante F, De Michele C, Bernardi M, Petrella L. A multivariate copula-based framework for dealing with hazard scenarios and failure probabilities. Water Resour Res. 2016;52:3701-21. [Crossref]
- Susam SO, Ucer Hudaverdi B. Modeling the dependence structure of CO2 emissions and energy consumption based on the Archimedean copula approach: the case of the United States. Energy Sources, Part B: Economics, Planning, and Policy. 2019;14(6):274-89. [Crossref]
- Crowley J, Hu M. Covariance analysis of heart transplant survival data. J Am Stat Assoc. 1977;72(357):27-36. [Crossref]
- Manatunga AK, Oakes D. Parametric analysis of matched pair survival data. Lifetime Data Analysis. 1999;5:371-87. [Crossref] [PubMed]
- Trivedi PK, Zimmer DM. Copula modeling: an introduction for practitioners. Found Trends Economet. 2005;1(1):1-111. [Crossref]
- Aitkin M, Laird N, Francis B. A reanalysis of the stanford heart transplant data. J Am Stat Assoc. 1983;78(382):264-74. [Crossref]
.: Process List